Evoluční rovnice růstu dvousložkového systému na jednodimenzionální rozhraní

O práci

  • názov: Evolučné rovnice rastu dvojzložkového systému na jednodimenzionálnom rozhraní
  • akademický rok zadania: 2006/2007
  • vedúci práce: RNDr. Miroslav Kotrla, CSc.
  • email: kotrla@fzu.cz
  • stiahnuť: pdf

Anotácia

Existujú dve duálne metódy popisu a štúdia vývoja rozhrania v nerovnováhe:

  • pomocou diskrétnych rastových modelov
  • pomocou stochastických diferenciálnych rovníc

V počiatkoch bol vzťah medzi oboma popismi určovaný len na základe porovnávacích výsledkov. Neskôr bola navrhnutá analytická metóda, ako pre daný diskrétny model odvodiť zodpovedajúcu Langevinovu rovnicu. Avšak tento vzťah nebol celkom jednoznačný. Nedávno bola pre jednoduché jednozložkové modely použitá definovaná metóda regularizácie poskytujúca priamy vzťah medzi oboma prístupmi.

Mnoho reálnych dejov prebieha v skutočnosti v dvoch a viac komponentných systémoch (ide napr. o vznik štruktúr zložených z domén rôznych typov častíc). Pochopenie týchto procesov je dôležité pre tzv. nanotechnológie. Zatiaľčo uz je navrhnutý celý rad diskrétnych modelov pre dvoj komponentný rast, popis pomocou analogických stochastických rovníc takmer neexistuje.

Cieľom bakalárskej práce je získať prehľad o popise vývoja rozhrania dvojzložkového systému a následne odvodiť spojitý popis zodpovedajúci vybranému dvojzložkovému diskrétnemu modelu.

Abstrakt

V predloženej práci popisujeme niekoľko modelov rastu binárnych systémov, ktoré sa používajú pri štúdiu časového vývoja meniacich sa rozhraní, a vysvetľujeme dynamické škálovanie konkrétnych modelov rastu. Vývoj rozhrania v nerovnováhe popisujeme pomocou diskrétnych rastových modelov alebo pomocou stochastických diferenciálnych rovníc. Priamy vzťah medzi týmito duálnymi prístupmi je určený pomocou metódy regularizácie. Pre zvolené diskrétne modely odvádzame zodpovedajúcu majstrovskú rovnicu, z ktorej za použitia Kramers-Moyalovho rozvoja získame príslušnú spojitú Langevinovu rovnicu. Hlavným cieľom práce je vypracovanie súhrnného prehladu rastu binárnych systémov a analýza odvodenia spojitého popisu pre (1 + 1) rozmerný single-step solid-on-solid model s dvoma typmi častíc a Isingovskou interakciou. Tento model je založený na single-step modeli, ktorého škálovacie exponenty patria do Kardar-Parisi-Zhangovej (KPZ) triedy univerzality. Pre single-step model takisto odvádzame zodpovedajúcu Langevinovu rovnicu.

Úvod

Rast povrchov a rozhraní bol a je predmetom veľkého záujmu. Jednotlivé stochastické procesy prebiehajúce počas rastu môžeme študovať pomocou rôznych rastových modelov. Zložitosť spočíva v tom, že jednotlivé procesy sú väčšinou podstatne odlišné, a je náročné rozpoznať, ako sa podieľajú na výsledných vlastnostiach rastúceho útvaru. Pomocou rastových modelov môžeme popisovať predovšetkým rast pevných látok z pary alebo z kvapaliny. Okrem toho môžeme popisovať aj vývoj rozhrania medzi dvoma nezmiešateľnými kvapalinami, povrch kvapaliny, ktorá difunduje poréznym materiálom.

V prípade jednozložkových rastových modelov je ich použitie obmedzené na popis rastu čistých materiálov, vývoj organizmov jedného druhu a pod. Mikroskopický mechanizmus takýchto problémov v prípade jedného druhu ukladaných častíc bol v minulosti rozsiahle študovaný. Mnoho reálnych dejov však prebieha v skutočnosti v dvoch a viackomponentných systémoch (ide napr. o vznik štruktúr zložených z domén rôznych typov častíc, rast magnetických materiálov z iónov, atómov).

V tejto práci sa zaoberáme dvojzložkovými systémami, ktorých význam môže byť nasledujúci: popis reakcií, ktoré nastávajú na rastúcich povrchoch materiálov, rast binárnej zliatiny z kvapaliny obsahujúcej dva typy častíc, rast kolónie dvoch druhov baktérii, rast tenkých pevných filmov a pod. Cieľom tejto práce je vypracovanie prehľadu o popise vývoja rozhrania dvojzložkového systému a následné odvodenie spojitého popisu, ktorý zodpovedá vybranému dvojzložkovému diskrétnemu modelu.

Jednotlivé modely rastu môžeme rozdeliť na diskrétne a spojité. Jednoduché rastové modely umožňujú študovať jednotlivé stochastické procesy nezávisle. Štúdiom rôznych rastových modelov bolo zistené, že tieto modely môžeme podľa spoločných čŕt správania rozdeliť do niekoľkých tried. Ak je splnená podmienka univerzality (t.j. ak jednotlivé modely patria do rovnakej triedy univerzality), môžeme výsledky získané pre jednoduché modely zovšeobecniť i na správanie zložitejších systémov, pre ktoré nepoznáme riešenie. Kapitola 1 obsahuje zoznámenie so základnou charakteristikou modelov rastu.

Prehľad modelov rastu binárnych systémov je vypracovaný v kapitole 2. V tejto kapitole sú uvedené nasledujúce dvojzložkové modely: (i) jednoduchšie modely, ktoré umožňujú študovať jednotlivé procesy nezávisle (balistický depozičný model, náhodný depozičný model, dvojzložkový single-step model, epitaxia z molekulových zväzkov za prítomnosti fázovej separácie, rast A_(0.5)B_(0.5) filmu); (ii) zložitejšie modely (rast Fe/Ni_(75)B_(25) multivrstvy, rast Co_(1-c)Ag_(c)/Ru(0001) zliatiny), ktoré sú reálnejšie.

V kapitole 3 je uvedený spojitý popis dvojzložkového depozičného modelu. Tento model je popísaný pomocou dvojice Langevinových rovníc pre vývoj výšky a magnetizácie. B. Drossel a M. Kardar navrhli konkrétny dvojzložkový model (“brick wall” model), ktorý vyhovuje uvedenému spojitému popisu. Vlastnosti tohto modelu sa dajú študovať aj pomocou počítačových simulácii.

V kapitole 4 sa zaoberáme vzájomným vzťahom medzi pravdepodobnostným popisom diskrétnych modelov a spojitými stochastickými rovnicami, t.j. v tejto kapitole je popísaný prechod medzi diskrétnymi a spojitými modelmi. Pre jednotlivé diskrétne modely môžeme z majstrovskej rovnice pomocou Kramers-Moyalovho rozvoja odvodiť Fokker-Planckovu rovnicu, ktorá je ekvivalentná s Langevinovou rovnicou. Prechod k Langevinovej rovnici pre spojitú premennú sa uskutočňuje pomocou vyhladzovacej procedúry. Prakticky sa vyhladzovacia procedúra robí metódou regularizácie.

Kapitola 5 obsahuje analýzu odvodenia spojitého popisu (odvodenie diferenciálnych rovníc) pre dvojzložkový single-step model. Tento skúmaný model je priamym zovšeobecnením single-step modelu.

Záver

V tejto práci sme sa zaoberali modelmi rastu dvojzložkových systémov, a to ako z hľadiska diskrétnych modelov, tak i z pohľadu spojitých stochastických rovníc, ktoré sú s týmito modelmi spojené. Bol vypracovaný prehľad modelov rastu binárnych systémov a boli získané nové výsledky pre spojité rovnice.

V kapitole 2 bol vypracovaný prehľad diskrétnych modelov rastu binárnych systémov, ktorý poskytuje náhľad na použitie jednoduchých modelov i zložitejších modelov umožňujúcich modelovanie reálnych dejov, ktoré v skutočnosti prebiehajú v dvoch a viac komponentných systémoch. Pochopenie týchto procesov je dôležité napr. pre nanotechnológie.

Kapitola 3 poskytuje pohľad na dva dvojzložkové modely (depozičný model a MBE model binárnej zliatiny), pre ktoré sú známe spojité popisy. S týmito popismi sme porovnali výsledky odvodené v kapitole 5.

Prechod od diskrétnych modelov ku spojitým rovniciam, ktorým sme sa zaoberali v kapitole 4, predstavuje jeden zo základných problémov spojených so štúdiom rastových procesov. Vzťah medzi diskrétnymi modelmi a zodpovedajúcimi Langevinovými rovnicami nebol celkom jednoznačný. Nedávno bola pre jednoduché jednozložkové modely použitá definovaná metóda regularizácie poskytujúca priamy vzťah medzi diskrétnymi rastovými modelmi a stochastickými diferenciálnymi rovnicami.

Sformulovali sme všeobecné majstrovské rovnice obsahujúce korelácie medzi priestorovými súradnicami a magnetizáciou pre dvojzložkový diskrétny model – konkrétne pre magnetický single-step model (TCSS model), viď kapitola 5. Táto kapitola ďalej obsahuje: (a) analýzu odvodenia spojitého popisu pre TCSS model pre špeciálny prípad T->infty, (b) analýzu vývoja výšky h(x,t) a magnetizácie m(x,t) pre TCSS model pre druhý špeciálny prípad T->0. Langevinova rovnica pre vývoj výšky h(x,t) pre T->infty zodpovedá spojitej rovnici, ktorá charakterizuje KPZ triedu univerzality, t.j. nedochádza ku zmene asymptotického správania (triede univerzality). Langevinova rovnica pre vývoj magnetizácie m(x,t) pre T->infty obsahuje niektoré členy z Langevinovej rovnice pre depozičný model binárnej zliatiny, ktorá je uvedená v kapitole 3. Vývoj výšky h(x,t) a magnetizácie m(x,t) pre TCSS model pre T->0 veľmi závisí na začiatočných podmienkach, t.j. na konfigurácii výšok a spinov. V niektorých špeciálnych prípadoch dostaneme správanie modelu, ktoré patrí ku KPZ triede univerzality. V prípade všeobecnej konfigurácie výšok a spinov sa bez ďalších aproximácií nedá určiť vývoj výšky h(x,t) a magnetizácie m(x,t).

Námetom pre ďalšiu prácu je správanie magnetického single-step modelu vo vyšších dimenziách (predovšetkým v (2+1) dimenzii) alebo aj správanie podobných modelov, ktoré zahŕňajú iný typ interakcie, inú geometriu a s tým súvisiace podmienky pre ukladanie jednotlivých častíc na rastúci substrát. Veľmi dôležité a potrebné je zahrnutie elastických interakcií vznikajúcich v dôsledku rôznej veľkosti mriežkových konštánt oboch komponentov.

Najviac používanou metódou pre štúdium takýchto rastových procesov sú počítačové simulácie, no vyšetrovanie asymptotického správania je sťažené efektami konečného objemu a prechodovými režimami. Ak poznáme spojitý popis modelu, tak presne poznáme celý časový vývoj, t.j. aj asymptotické správanie. Odvodenie spojitého popisu pre vyššie uvedené komplikovanejšie modely môže byť zložitejšie resp. vo viacerých prípadoch aj neuskutočniteľné.

Literatúra

  • Kotrla M., Předota M.: Interplay between kinetic roughening and phase ordering, Europhys. Lett.39 (1997) 251-256
  • Kotrla M.: Growth of rough surfaces, Czech J. Phys. 42, (1992) 449-544
  • Park K., Kahng B.: Exact derivation of the Kardar-Parisi-Zhang equation for the restricted solis-on-solid model, Phys. Rev. E51 (1995) 796-798
  • Van Kampen N. G.: Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, Amsterdam, 1981
  • Baggio C., Vardavas R., Vvedensky D. D.: Fokker-Planck equation for lattice deposition models, Phys. Rev. E64 (2001) 045103-1 – 045103-2
  • Drossel B., Kardar M.: Interplay between phase ordering and roughening on growing films, Eur. Phys. J. B 36 (2003) 401-410